Các hệ số trong biểu diễn này được gọi là toạ độ của vectơ v trong cơ sở B.Chẳng hạn

nếu v = k 1 . b 1 + k 2 . b 2 + . . . + k n . b n {\displaystyle k_{1}.b_{1}+k_{2}.b_{2}+...+k_{n}.b_{n}} thì ( k 1 , k 2 , . . . , k n ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},...,k_{n})} là toạ độ của v trong cơ sở B.

Cho hai cơ sở B={b1,b2,...,bn} và B' ={b' 1,b' 2,...,b' n}. Giả sử vetơ v có toạ độ trong cơ sở B và B' tương ứng là ( k 1 , k 2 , . . . , k n ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},...,k_{n})} và ( k 1 ′ , k 2 ′ , . . . , k n ′ ) {\displaystyle (k'_{1},k'_{2},...,k'_{n})} . Ngoài ra các vectơ của B biểu diễn qua các vectơ của B' như sau

b 1 = c 1 , 1 b 1 ′ + c 1 , 2 b 2 ′ + . . . + c 1 , n b n ′ b 2 = c 2 , 1 b 1 ′ + c 2 , 2 b 2 ′ + . . . + c 2 , n b n ′ . . . b n = c n , 1 b 1 ′ + c n , 2 b 2 ′ + . . . + c n , n b n ′ {\displaystyle {\begin{matrix}b_{1}=c_{1,1}b'_{1}+c_{1,2}b'_{2}+...+c_{1,n}b'_{n}\\b_{2}=c_{2,1}b'_{1}+c_{2,2}b'_{2}+...+c_{2,n}b'_{n}\\...\\b_{n}=c_{n,1}b'_{1}+c_{n,2}b'_{2}+...+c_{n,n}b'_{n}\end{matrix}}} .

Khi đó v= ∑ i = 1 n k i . b i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}.b_{i}} = ∑ i = 1 n k i . ( ∑ j = 1 n c i , j . b j ′ ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}.\left(\sum _{j=1}^{n}c_{i,j}.b'_{j}\right)} = ∑ j = 1 n ( ∑ i = 1 n c i , j . k i ) . b j ′ {\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i,j}.k_{i}\right).b'_{j}} .

Như vậy

k j ′ = ∑ i = 1 n c i , j . k i {\displaystyle k'_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{i,j}.k_{i}}

được gọi là công thức đổi cơ sở....